基于Monte Carlo方法的圓截面直角彎管傳輸幾率

　　借助Matlab軟件，用蒙特卡洛方法對(duì)圓截面直角彎管在分子流態(tài)下的傳輸幾率進(jìn)行了模擬計(jì)算。通過(guò)數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)對(duì)氣體分子的虛擬約束和跟蹤。本文先通過(guò)模擬最簡(jiǎn)單的圓直管道傳輸幾率，并與Clausing、Dushman方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的正確性和建模的合理性，進(jìn)而對(duì)于圓截面直角彎管的傳輸幾率進(jìn)行了模擬計(jì)算，將模擬結(jié)果與兩種等效算法比較得出：在分子流下計(jì)算圓截面直角彎管的傳輸幾率時(shí)，Davis的等效方法較傳統(tǒng)的等效方法更為合理。

　　在真空系統(tǒng)設(shè)計(jì)與計(jì)算中，為了表征稀薄氣體通過(guò)真空系統(tǒng)管路元件的流動(dòng)，通常給出流導(dǎo)幾率(即傳輸幾率)，流導(dǎo)幾率是確定氣體流量的一個(gè)重要參數(shù)。圓截面直角彎管是真空系統(tǒng)常用的管道結(jié)構(gòu)，其在分子流狀態(tài)下的傳輸幾率是衡量真空設(shè)備和真空性能的重要參數(shù)。

1、圓截面直角彎管傳輸幾率的模擬計(jì)算

　　1.1、基本假設(shè)及概率模型

　　基于管道中的氣流狀態(tài)為分子狀態(tài)，進(jìn)行如下假設(shè)：

　　(1)氣流為穩(wěn)定氣流，氣體分子數(shù)守恒，即管壁無(wú)吸氣和放氣現(xiàn)象。這意味著射入管口的分子最終只有兩種可能：從出口逸出或者從入口逸出。兩者的幾率之和等于1。

　　(2)入射分子和反射分子都遵循余弦定律。

　　(3)分子在管道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，即分子之間互不碰撞，氣體分子只與管壁發(fā)生碰撞。

　　(4)評(píng)定參數(shù)C約等于1，忽略氣體分子在分子流態(tài)下通過(guò)直圓管道的位置束流效應(yīng)。

　　因?yàn)闅怏w以分子流態(tài)流動(dòng)，就每個(gè)分子而言，從分子飛入管道與管壁碰撞后產(chǎn)生漫反射直至分子逸出管道，分子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程都是隨機(jī)的。故管道的傳輸幾率本身就是一種概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。每個(gè)分子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)都可以用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表示，通常在計(jì)算機(jī)上采用(0，1)區(qū)間均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，用數(shù)學(xué)方法模擬每個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)計(jì)算機(jī)跟蹤每個(gè)分子，統(tǒng)計(jì)進(jìn)入管道的分子總數(shù)N和逸出管道出口的分子數(shù)n，可以得到管道的傳輸幾率Pr

Pr=n/N(1)

　　N越大，Pr越準(zhǔn)確。當(dāng)N足夠大時(shí)，Pr就足夠準(zhǔn)確。

　　1.2、圓直管道傳輸幾率

　　在計(jì)算圓截面直角彎管的傳輸幾率之前，先進(jìn)行最簡(jiǎn)單的圓直管道傳輸幾率計(jì)算并與Clausing、Dushman方法計(jì)算的傳輸幾率進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證MonteCarlo法計(jì)算傳輸幾率的準(zhǔn)確性。圓直管道傳輸幾率的計(jì)算方法與圓截面直角彎管的傳輸幾率計(jì)算中的橫管的部分相似，只不過(guò)不用判斷分子是否進(jìn)入縱管，而是直接判斷其是否從出口飛出，具體方法在下文中詳述。

　　利用Matlab軟件進(jìn)行編程模擬，計(jì)算出不同長(zhǎng)徑比的圓直管道的傳輸幾率，將這些數(shù)據(jù)與Clausing、Dushman方法計(jì)算的相應(yīng)傳輸幾率繪制在同一圖中，如圖1所示。

圖1 MonteCarlo法計(jì)算的傳輸幾率Pr和Clausing系數(shù)Kc、Dushman的對(duì)比

　　從圖1中可以看出，用MonteCarlo法模擬計(jì)算的傳輸幾率Pr與Clausing積分方程的近似解有很強(qiáng)的一致性。在L/R=1.5處出現(xiàn)最大殘差0.0105，造成約1.8%的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差最大值出現(xiàn)在L/R=17處，達(dá)到了5.23%。而Dushman方法計(jì)算出來(lái)的傳輸幾率與其他兩者差別很大，在L/R=5.1處相對(duì)誤差達(dá)到了13.52%。隨著L/R逐漸增大，三條曲線逐漸趨于一致。用MonteCarlo法模擬計(jì)算的圓直管的傳輸幾率與用Clausing方程計(jì)算的近似解十分接近，這證明了該方法模擬計(jì)算管道的傳輸幾率的準(zhǔn)確性。因此，可以用類似上述的模型對(duì)圓截面直角彎管的傳輸幾率進(jìn)行模擬計(jì)算。

2、結(jié)論

　　本文主要采用MonteCarlo法模擬計(jì)算分子流態(tài)下管道的傳輸幾率，先驗(yàn)證MonteCarlo法計(jì)算圓直管的傳輸幾率的準(zhǔn)確性，再通過(guò)與Clausing積分方程的近似解和Dushman近似計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到模擬結(jié)果與Clausing積分方程的近似解具有較好的吻合性，Dushman近似計(jì)算的結(jié)果與MonteCarlo模擬結(jié)果相差較大。然后采用該方法模擬計(jì)算圓截面直角彎管的傳輸幾率，并與目前常采用的傳統(tǒng)的等效長(zhǎng)度法、Davis等效法進(jìn)行對(duì)比，傳統(tǒng)的等效長(zhǎng)度法與模擬結(jié)果相差較大，Davis等效法與模擬結(jié)果具有較好的吻合性。因此在理論上計(jì)算分子流態(tài)下的彎管的傳輸幾率時(shí)，可以根據(jù)Davis等效法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。