基于格子Boltzmann方法的微氣體流動(dòng)速度滑移邊界條件的檢驗(yàn)

　　為研究微氣體流動(dòng)的速度滑移邊界條件，建立適用于滑移區(qū)和過(guò)渡區(qū)的微氣體流動(dòng)的格子Boltzmann 模型，從氣體動(dòng)理學(xué)理論及Knudsen 層效應(yīng)出發(fā)推導(dǎo)了Knudsen 數(shù)與無(wú)量綱松弛時(shí)間的關(guān)系，基于Succi 的邊界處理方法和廣義二階速度滑移邊界條件推導(dǎo)出壁面滑移速度和反彈比例系數(shù)的計(jì)算公式，并以微尺度Poiseuille 流動(dòng)為例，對(duì)七類速度滑移邊界條件進(jìn)行研究。計(jì)算結(jié)果表明，在各個(gè)速度滑移模型下，中心線上的無(wú)量綱速度的偏差小于邊界上的無(wú)量綱滑移速度的偏差。Guo 模型、Hisa 模型、Zhang 模型表現(xiàn)較好，其次是Hadjiconstantinou 模型，而Cercignani 模型、S chamberg 模型、Deissler 模型的表現(xiàn)較差。

　　近二十年來(lái)，自然科學(xué)和工程技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)是朝著微型化邁進(jìn)。微通道中的流動(dòng)會(huì)出現(xiàn)明顯不同于常規(guī)尺度下的流動(dòng)現(xiàn)象。當(dāng)微通道尺寸和分子平均自由程相當(dāng)時(shí)，流體連續(xù)介質(zhì)模型不再成立，此時(shí)需要放棄連續(xù)介質(zhì)假設(shè)而采用細(xì)觀模型或分子氣體動(dòng)力學(xué)的方法。對(duì)于微尺度氣體動(dòng)，可以根據(jù)Knudsen 數(shù)( 采用Kn 表示，定義為分子平均自由程K與流動(dòng)特征長(zhǎng)度L 的比值，即Kn=K/L ) 來(lái)表征流場(chǎng)非連續(xù)性的程度。采用Knudsen數(shù)可以將微尺度氣體流動(dòng)劃分成三個(gè)區(qū)域，即滑移區(qū)域( 0.01< Kn< 0.1) 、過(guò)渡區(qū)域( 0.1< Kn< 10) 和自由分子區(qū)域( Kn > 10) 。一般，當(dāng)Kn> 0.1 時(shí)，連續(xù)介質(zhì)模型不復(fù)正確，要用分子描述方法。

　　根據(jù)氣體動(dòng)理學(xué)理論，氣體分子的速度分布函數(shù)滿足Boltzmann方程，該方程是一個(gè)7 維非線性積分微分方程，求解十分困難。格子Boltzmann 方法作為一種對(duì)連續(xù)Boltzmann 方程的時(shí)間、空間以及速度空間都進(jìn)行離散的介觀方法，近年來(lái)也被用于微尺度氣體流動(dòng)的模擬。格子Boltzmann 方法在微尺度氣體流動(dòng)方面的應(yīng)用始于2002 年Nie和Lim的研究工作。Nie 的模型中在處理邊界時(shí)采用無(wú)滑移邊界條件中的反彈格式，Nin 采用鏡面反彈和外推格式邊界來(lái)模擬速度滑移，并比較了這兩種格式對(duì)流場(chǎng)的影響,指出在較高的Knudsen 數(shù)、較大的進(jìn)出口壓力比的情況下，兩種邊界條件都與解析解存在一定的偏差。隨后,Ansumali根據(jù)動(dòng)理學(xué)理論的完全漫反射模型構(gòu)造了格子Boltzmann 模型的離散漫反射邊界條件,Tang進(jìn)一步得到了一般漫反射的離散形式,Niu則提出了漫反射-散射滑移邊界格式，這類邊界處理格式記為DM 格式。Succi提出了另外一種邊界條件，即將無(wú)滑移的反彈格式與無(wú)窮滑移的鏡面反彈結(jié)合起來(lái)的混合格式，記為BSR 格式。

　　GUO對(duì)DM 格式和BSR 格式進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，指出DM 格式不能完全實(shí)現(xiàn)漫反射邊界條件，但BSR 格式可以實(shí)現(xiàn)完全漫反射邊界條件，并指出由于邊界條件的離散效應(yīng)使得數(shù)值滑移速度和物理滑移速度存在差異，且這一差異可以通過(guò)調(diào)整DM 或BSR 格式中的控制參數(shù)予以消除，對(duì)于不同的滑移速度邊界條件，控制參數(shù)的取值也不相同。隨著格子Boltzmann 模型的改進(jìn)和發(fā)展，格子Boltzmann 方法在微尺度氣體流動(dòng)上的應(yīng)用也逐步完善起來(lái)，并開(kāi)始用于過(guò)渡區(qū)流動(dòng)的模擬，其主要思想是在已有的格子Boltzmann 模型的基礎(chǔ)上引入壁面修正函數(shù),對(duì)Knudsen 層內(nèi)的分子平均自由程進(jìn)行修正，并提出有效平均自由程及有效松弛時(shí)間的概念，修正后的模型突破了滑移區(qū)的限制，對(duì)過(guò)渡區(qū)的流動(dòng)進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬，但也僅是在Kn< 0.5 的情況下與DSMC 的結(jié)果吻合得比較好，對(duì)于Kn> 0.5 的流動(dòng)模擬結(jié)果的誤差仍比較大。GUO 建立了包含多個(gè)有效松弛時(shí)間的MRT-LBE 模型，并提出了廣義二階速度滑移邊界條件，在更大的Knudsen 數(shù)范圍內(nèi)仍能取得了較好的模擬結(jié)果，但模型相對(duì)復(fù)雜。對(duì)于微尺度氣體流動(dòng)，Maxwell 一階速度滑移邊界條件的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，在滑移區(qū)吻合很好，在過(guò)渡區(qū)則出現(xiàn)顯著偏離，為此很多學(xué)者嘗試引入二階速度滑移邊界條件，但這些速度滑移邊界條件的適用性需要進(jìn)行評(píng)估。本文以二維的微尺度Poiseuille 流動(dòng)為例，建立適用于滑移區(qū)和過(guò)渡區(qū)的微尺度氣體流動(dòng)的格子Boltzmann 模型，并對(duì)各類速度滑移邊界條件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)比較，以評(píng)估其適用范圍。

　　結(jié)論

　　本文首先建立了適用于滑移區(qū)和過(guò)渡區(qū)的微尺度氣體流動(dòng)的格子Boltzmann 模型，并將各類速度滑移邊界條件進(jìn)行推廣，得到廣義二階速度滑移邊界條件，然后以二維微尺度Poiseuille 流動(dòng)問(wèn)題為例,研究了各類速度滑移邊界條件的適用性，研究表明在各個(gè)滑移速度模型下，中心線上的無(wú)量綱速度的偏差小于邊界上的無(wú)量綱滑移速度的偏差。當(dāng)Knudsen 數(shù)為0.01 時(shí)，各速度滑移模型的偏差均較小，隨著Knudsen 數(shù)的增加，不同速度滑移模型下的偏差相差較大。Guo 模型、Hisa 模型、Zhang 模型表現(xiàn)較好，其次是Hadjiconstant inou 模型，而Cercignani模型、Schamberg 模型和Deissler 模型的表現(xiàn)較差。